对称性验证套件Skill symmetry-validation-suite

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name: 对称性验证套件 description: 当您需要实证测试数据或模型中假设的对称性是否实际成立时使用。在用户提到测试不变性、验证等变性、检查对称性假设是否正确、调试与对称性相关的模型失败，或在承诺使用等变架构前需要数据驱动的验证时调用。提供测试协议和指标。

对称性验证套件

这是什么？

此技能提供实证测试来验证对称性假设。在承诺使用等变架构前，您应该验证声称的对称性是否确实成立。此技能提供具体的测试协议和指标。

为什么要验证？ 错误的对称性假设会损害模型性能。过多对称性会过度约束；缺失对称性会浪费容量。

工作流程

复制此检查清单并跟踪进度：

对称性验证进度：
- [ ] 步骤1：列出要测试的对称性假设
- [ ] 步骤2：设计变换测试集
- [ ] 步骤3：运行不变性/等变性测试
- [ ] 步骤4：验证群结构
- [ ] 步骤5：分析变换下的数据分布
- [ ] 步骤6：记录验证结果

步骤1：列出要测试的对称性假设

从先前的发现工作中收集候选对称性。对于每个，记录：变换类型、期望不变性还是等变性、置信度。优先测试低置信度假设。如果无假设存在，与用户通过领域分析共同识别候选对称性。

步骤2：设计变换测试集

对于每个对称性，创建测试协议：从数据分布中采样代表性输入。定义变换采样策略（随机旋转、全排列等）。确定统计显著性的适当样本大小。考虑边缘情况和边界条件。参见变换采样获取指导。详细方法请参阅方法细节。

步骤3：运行不变性/等变性测试

不变性测试：对输入x应用变换T，计算输出f(x)和f(T(x))，测量误差||f(T(x)) - f(x)||。等变性测试：计算f(T(x))和T’(f(x))，其中T’是输出变换，测量误差||f(T(x)) - T’(f(x))||。使用测试协议获取实现细节。跨样本聚合并计算统计量。完整代码示例参见测试实现示例。

步骤4：验证群结构

检查声称的变换是否形成有效群：测试闭包（两个变换的组合是一个变换）。测试结合性。验证恒等元存在。验证逆元存在。对于李群，检查生成元在交换子下闭合。参见群结构测试。

步骤5：分析变换下的数据分布

检查变换后数据是否保持在分布内：对训练数据应用变换。比较原始与变换后数据的统计量。检查可能破坏假设的分布偏移。识别保持有效性的变换范围。这捕获“近似对称性”情况，其中对称性仅在边界内成立。

步骤6：记录验证结果

使用输出模板创建验证报告。对于每个对称性：陈述假设、测试方法、量化结果、通过/失败决策。推荐是否使用硬等变约束、软约束（正则化）、数据增强或根本不使用对称性。输出质量标准定义在质量评估。

测试协议

不变性测试协议

def test_invariance(model, data_samples, transform_fn, n_transforms=100):
    """
    测试模型输出是否对变换不变。

    返回：
        mean_error: 平均||f(T(x)) - f(x)||
        max_error: 最大观察误差
        pass_rate: 误差 < 阈值的比例
    """
    errors = []
    for x in data_samples:
        y_orig = model(x)
        for _ in range(n_transforms):
            x_transformed = transform_fn(x)
            y_transformed = model(x_transformed)
            error = norm(y_transformed - y_orig)
            errors.append(error)

    return {
        'mean_error': mean(errors),
        'max_error': max(errors),
        'std_error': std(errors),
        'pass_rate': sum(e < threshold for e in errors) / len(errors)
    }

等变性测试协议

def test_equivariance(model, data_samples, input_transform, output_transform):
    """
    测试f(T(x)) = T'(f(x))对于等变性。

    返回：
        mean_error: 平均||f(T(x)) - T'(f(x))||
        relative_error: 误差归一化到输出幅度
    """
    errors = []
    for x in data_samples:
        # 方法1：变换后建模
        x_T = input_transform(x)
        y1 = model(x_T)

        # 方法2：建模后变换
        y = model(x)
        y2 = output_transform(y)

        error = norm(y1 - y2)
        relative = error / (norm(y2) + eps)
        errors.append({'absolute': error, 'relative': relative})

    return aggregate_stats(errors)

统计显著性

可靠结果：

• 使用至少100个数据样本
• 每个样本测试至少50个随机变换
• 报告均值、标准差和百分位数（95th、99th）
• 基于数值精度期望设置阈值
• 如果比较方法，使用假设检验

变换采样

连续群

群	采样策略
SO(2)	均匀随机角度 θ ∈ [0, 2π)
SO(3)	均匀随机四元数或轴角
SE(3)	结合SO(3)旋转 + 均匀平移
平移	在预期数据范围内均匀

离散群

群	采样策略
Cₙ	所有n个旋转
Dₙ	所有2n个元素（旋转 + 反射）
Sₙ	随机排列（如果n ≤ 6，则全枚举）

群结构测试

闭包测试

对于随机 g₁, g₂ ∈ G：
  计算 g₃ = g₁ · g₂
  验证 g₃ ∈ G（在数值容差内）

结合性测试

对于随机 g₁, g₂, g₃ ∈ G：
  计算 (g₁ · g₂) · g₃
  计算 g₁ · (g₂ · g₃)
  验证相等性（在容差内）

恒等元和逆元测试

对于随机 g ∈ G：
  验证 g · e = e · g = g
  找到 g⁻¹ 并验证 g · g⁻¹ = e

解释指南

误差阈值

误差级别	解释
< 1e-6	精确对称性（数值精度）
1e-6 到 1e-3	强近似对称性
1e-3 到 0.01	弱近似对称性
> 0.01	对称性可能不成立

决策矩阵

验证结果	推荐
确认精确对称性	使用硬等变约束
强近似	使用等变架构
弱近似	考虑软约束或增强
对称性破坏	不强制执行此对称性
部分对称性	使用条件/局部等变性

输出模板

对称性验证报告
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测试的对称性：

1. [变换]： [不变性/等变性]
   - 样本大小： [N 样本 × M 变换]
   - 平均误差： [值]
   - 最大误差： [值]
   - 通过率： [%] 在阈值 [值]
   - 结果： [通过/失败/部分]
   - 推荐： [硬约束/软/增强/无]

2. [变换]： [不变性/等变性]
   ...

群结构：
- 闭包： [通过/失败]
- 结合性： [通过/失败]
- 恒等元/逆元： [通过/失败]

分布分析：
- 对称性成立的变换范围： [边界]
- 检测到的破坏因素： [列表]

总结：
- 确认的对称性： [列表]
- 拒绝的对称性： [列表]
- 继续进行架构设计： [群规范]