name: 开放集 description: “拓扑学中开放集的问题解决策略” allowed-tools: [Bash, Read]
开放集
使用时机
当处理拓扑学中的开放集问题时，使用此技能。
决策树
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函数 f: X -> Y 是否连续？
- 对于度量空间：x_n -> x 是否意味着 f(x_n) -> f(x)？
- 对于一般空间：f^(-1)(开集) = 开集？
- 对于乘积空间：检查每个坐标函数
z3_solve.py prove "preimage_open"
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开放集验证
- 对于度量空间：对于所有 x 在 U 中，存在 epsilon > 0 使得 B(x,epsilon) 子集 U
z3_solve.py prove "ball_contained"带 epsilon 见证
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拓扑性质
- 内部：int(A) = A 的最大开子集
- 闭包：cl(A) = A 的最小闭超集
- 边界：bd(A) = cl(A) \ int(A)
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连续性测试
- Epsilon-delta：对于所有 epsilon > 0，存在 delta > 0：d(x,a) < delta 意味着 d(f(x),f(a)) < epsilon
z3_solve.py prove "epsilon_delta_bound"
工具命令
Z3_预像_开放
uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "preimage_open"
Z3_Epsilon_Delta
uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "ForAll(eps, Exists(delta, d(x,a) < delta implies d(f(x),f(a)) < eps))"
Z3_球_包含
uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "ball_contained"
关键技术
来自索引教科书：
- [Introduction to Topological Manifolds… (Z-Library)] 展示每个局部同胚是开映射。展示每个同胚是局部同胚。展示双射连续开映射是同胚。
- [Introduction to Topological Manifolds… (Z-Library)] 定义这种新空间类型的关键动机是连续性的开集准则（引理 A. 附录），它表明度量空间之间的连续函数可以仅通过开集来检测。基于此观察，我们做出以下定义。
- [Introduction to Topological Manifolds… (Z-Library)] 假设 X 是一个集合，B 是 X 的子集的任何集合，其并集等于 X。让 T 是 B 元素的所有有限交的并集的集合。注意空集是空集合的并集。
- [Introduction to Topological Manifolds… (Z-Library)] 乘积拓扑在某种意义上是“结合”的，三个乘积拓扑 X1 × X2 × X3, (X1 × X2) × X3, 和 X1 × (X2 × X3) 在集合 X1 × X2 × X3 上都是相等的。对于任何 i 和任何点 xj ∈ Xj, j ≠ i, 映射 fi : Xi → X1 × · · × Xn 由 fi(x) = (x1, … 给出。如果对于每个 i, Bi 是 Xi 拓扑的基，那么集合 {B1 × · · · × Bn : Bi ∈ Bi} 是 X1 × · · · × Xn 上乘积拓扑的基。
- [Introduction to Topological Manifolds… (Z-Library)] 这里是一些熟悉拓扑空间的闭子集例子。任何闭区间 [a, b] ⊂ R 是闭集，半无限闭区间 [a, ∞) 和 (−∞, b] 也是。离散空间的每个子集都是闭的。
认知工具参考
查看 .claude/skills/math-mode/SKILL.md 获取完整工具文档。