关系参数化证明器

证明关系参数化并推导自由定理。

何时使用

证明抽象
推理多态性
推导程序属性
语言元理论

这个技能的作用

定义关系 - 类型索引关系
证明参数化 - 抽象定理
推导定理 - 自由定理
处理类型 - 跨越所有类型构造函数

核心理论

参数化：
  如果 Γ ⊢ e : τ
  那么 ⟦e⟧ 尊重 τ 的关系解释

自由定理：
  ⊢ id : ∀α. α → α
  ⇒ ∀R. ∀x,y. R(x,y) → R(x,y)
  (恒等函数保留所有关系)
  
  ⊢ swap : ∀α,β. α × β → β × α  
  ⇒ ∀R,S. ∀x,y. R(x,y) → S(fst x)(fst y) → 
             S(snd x)(snd y)

实现

from dataclasses import dataclass
from typing import Dict, Set, Generic, TypeVar, Callable

@dataclass
class Type:
    """类型"""
    pass

@dataclass
class TVar(Type):
    """类型变量"""
    name: str

@dataclass
class TFun(Type):
    """函数类型"""
    dom: Type
    cod: Type

@dataclass
class TProd(Type):
    """产品类型"""
    left: Type
    right: Type

@dataclass
class TSum(Type):
    """和类型"""
    left: Type
    right: Type

@dataclass
class TUnit(Type):
    """单元类型"""

class Relation(Generic[T]):
    """二元关系"""
    
    def __init__(self, pairs: Set[tuple]):
        self.pairs = pairs
    
    def contains(self, x, y) -> bool:
        return (x, y) in self.pairs
    
    def domain(self) -> Set:
        return {x for x, y in self.pairs}
    
    def codomain(self) -> Set:
        return {y for x, y in self.pairs}

class RelationalParametricity:
    """关系参数化"""
    
    def __init__(self):
        self.relations: Dict[str, Relation] = {}
    
    def interp_type(self, tau: Type, rel_env: Dict[str, Relation]) -> Relation:
        """将类型解释为关系"""
        
        match tau:
            case TInt():
                # 整数上的恒等关系
                return Relation({(n, n) for n in range(1000)})
            
            case TBool():
                return Relation({(True, True), (False, False)})
            
            case TVar(alpha):
                return rel_env[alpha]
            
            case TFun(dom, cod):
                # 函数的关系解释
                rel_dom = self.interp_type(dom, rel_env)
                rel_cod = self.interp_type(cod, rel_env)
                
                # f ~ g 当且仅当 ∀x,y. R(x,y) → R'(f(x), g(y))
                def func_rel() -> Relation:
                    pairs = set()
                    
                    # 获取样本值
                    for x in rel_dom.domain():
                        for y in rel_dom.codomain():
                            if rel_dom.contains(x, y):
                                # 检查函数行为
                                pass
                    
                    return Relation(pairs)
                
                return func_rel()
            
            case TProd(a, b):
                rel_a = self.interp_type(a, rel_env)
                rel_b = self.interp_type(b, rel_env)
                
                # (a₁,b₁) ~ (a₂,b₂) 当且仅当 a₁~a₂ ∧ b₁~b₂
                pairs = set()
                for (a1, a2) in rel_a.pairs:
                    for (b1, b2) in rel_b.pairs:
                        pairs.add(((a1, b1), (a2, b2)))
                
                return Relation(pairs)
            
            case TSum(a, b):
                rel_a = self.interp_type(a, rel_env)
                rel_b = self.interp_type(b, rel_env)
                
                # inl(a₁) ~ inl(a₂) 当且仅当 a₁~a₂
                # inr(b₁) ~ inr(b₂) 当且仅当 b₁~b₂
                pairs = set()
                for (a1, a2) in rel_a.pairs:
                    pairs.add((('inl', a1), ('inl', a2)))
                for (b1, b2) in rel_b.pairs:
                    pairs.add((('inr', b1), ('inr', b2)))
                
                return Relation(pairs)
    
    def prove_parametricity(self, term: 'Term', tau: Type) -> bool:
        """
        证明项尊重关系解释
        
        定理：如果 ⊢ e : τ, 那么 ⟦e⟧ 尊重 ⟦τ⟧
        """
        
        rel_env = {
            'α': Relation({(0, 0)})  # 任意关系
        }
        
        rel = self.interp_type(tau, rel_env)
        
        # 检查项是否尊重关系
        return self.check_respects(term, rel)
    
    def derive_free_theorem(self, tau: Type) -> str:
        """为类型推导自由定理"""
        
        match tau:
            case TFun(TVar(a), TVar(b)):
                # ∀α,β. (α → β) 给出：
                return f"∀R,S. R(x₁,x₂) → S(f(x₁), f(x₂))"
            
            case TFun(TVar(a), TFun(TVar(b), TVar(c))):
                # ∀α,β,γ. (α → β → γ) 给出：
                return f"∀R,S,T. R(x₁,x₂) → S(y₁,y₂) → T(f x₁ y₁)(f x₂ y₂)"
            
            case _:
                return "无自由定理"

自由定理示例

def generate_free_theorems():
    """
    来自参数化的自由定理
    
    id : ∀α. α → α
    ⊢ ∀R. R(x,y) → R(x,y)
    (平凡)
    
    map : ∀α,β. (α → β) → [α] → [β]
    ⊢ ∀R,S. R(f,g) → R(map f, map g)
    (保留关系)
    
    flip : ∀α,β,γ. (α → β → γ) → β → α → γ  
    ⊢ ∀R,S,T. R(f,f') → S(x,x') → T(y,y') → 
               T(flip f x y)(flip f' x' y')
    (翻转保留关系)
    
    apply : ∀α,β. (α → β) → α → β
    ⊢ ∀R,S. R(f,f') → S(x,x') → S(f x, f' x')
    (应用保留关系)
    
    compose : ∀α,β,γ. (β → γ) → (α → β) → α → γ
    ⊢ ∀R,S,T. R(g,g') → S(f,f') → T(x,x') → 
               T(g (f x))(g' (f' x'))
    (组合保留关系)
    """
    
    theorems = {
        'id': '∀R. R(x,y) → R(x,y)',
        'map': '∀R,S. R(f,g) → R(map f, map g)',
        'flip': '∀R,S,T. R(f,f\') → S(x,x\') → T(y,y\') → T(flip f x y)(flip f\' x\' y\')',
        'apply': '∀R,S. R(f,f\') → S(x,x\') → S(f x, f\' x\')',
        'compose': '∀R,S,T. R(g,g\') → S(f,f\') → T(x,x\') → T(g (f x))(g\' (f\' x\'))',
    }
    
    return theorems

关键概念

概念	描述
关系解释	类型作为关系
抽象	不能检查类型变量
自由定理	来自类型的属性
表示独立性	抽象类型

应用

证明数据抽象
推理泛型
证明编译器正确性
语言元理论

提示

从简单类型开始
使用关系解释
系统性地推导属性
考虑效应类型

研究工具与成果

真实世界参数化工具：

工具	为何重要
Coq	参数化证明
Isabelle	交互式证明
Agda	基于类型的证明

关键论文

Wadler: “The Girard-Reynolds isomorphism”
Reynolds: “Types, abstraction, parametricity”

研究前沿

当前参数化研究：

方向	关键论文	挑战
高阶	“Higher-order Parametricity”	多态类型
线性	“Linear Parametricity”	线性性

实现陷阱

常见参数化错误：

陷阱	真实例子	预防
非参数化	UnsafeCoerce	不要作弊

关系参数化证明器Skill relational-parametricity-prover

关系参数化证明器

何时使用

这个技能的作用

核心理论

实现

自由定理示例

关键概念

应用

提示

相关技能

研究工具与成果

关键论文

研究前沿

热门话题

实现陷阱