名称：留数 描述：“解决复分析中留数问题的策略” 允许的工具：[Bash, Read]
留数
何时使用
在解决复分析中的留数问题时使用此技能。
决策树
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计算留数
- 简单极点在 z0：
- Res(f, z0) = lim_{z->z0} (z - z0)f(z)
sympy_compute.py limit "(z - z0)*f(z)" --var z --at z0
- n阶极点：
- Res(f, z0) = (1/(n-1)!) * lim d^{n-1}/dz^{n-1}[(z-z0)^n f(z)]
sympy_compute.py diff "((z-z0)**n)*f(z)" --var z --order n-1
- 对于 f = g/h 且为简单极点的洛必达捷径：
- Res(f, z0) = g(z0)/h’(z0)
- 简单极点在 z0：
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识别极点阶数
- 简单极点：(z - z0)f(z) 有有限极限
- n阶：(z - z0)^n f(z) 有有限极限，但 (z - z0)^{n-1} f(z) 没有
sympy_compute.py limit "(z - z0)**n * f(z)" --var z --at z0
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本质奇点
- 既不是极点也不是可去奇点（例如，e^{1/z} 在 z=0）
- 通过洛朗级数计算留数
sympy_compute.py series "exp(1/z)" --var z --at 0
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应用留数定理
- oint_C f(z)dz = 2pii * (C 内所有留数之和)
- 只计算轮廓 INSIDE 的极点
z3_solve.py prove "pole_inside_contour"
工具命令
Sympy_Residue
uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py residue "1/((z-1)*(z-2))" --var z --at 1
Sympy_Limit
uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py limit "(z - z0)*f(z)" --var z --at z0
Sympy_Laurent
uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py series "exp(1/z)" --var z --at 0
Z3_Pole_Inside
uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "abs(z0) < R"
关键技术
来自索引教科书：
- [复分析 入门… (Z-Library)] 留数演算产生复积分而非实积分的事实并不… (49) 当 g(z) = z 时，我们得到 <»» i>(”)=25 / f^w) = 2vi / /'() /(z) - w z dz。如果 (49) 应用于 g(z) = zm，方程 (50) 被替换为 2iri I |z-zo| = /'() f(z) - w zm dz。右侧成员表示 w 的解析函数，对于 \w — ir0| < 8。
- [复分析 入门… (Z-Library)] 在区域上闭合曲线上的 r dz J /l — z2 的可能值是多少？留数演算 前一节的结果表明，解析函数在闭合曲线上的线积分的确定可以简化为周期的确定。在某些情况下，周期可以无需或只需很少计算即可找到。
- [复分析 入门… (Z-Library)] 提示：绘制虚轴图像，并对大半圆应用辐角原理。定积分的求值。留数演算为定积分的求值提供了非常有效的工具。
- [复分析 入门… (Z-Library)] 特定函数 1 /(z — ay) 具有消失周期。产生此结果的常数 Rj 称为 f(z) 在点 ay 的留数。我们以以下形式重复定义：使用如 R = Res! 这样自解释的符号是有帮助的。
- [复分析 (Elias M. Stein, Ram… (Z-Library)] Cauchy, 1826 理论中有一个一般原则，已经在黎曼的工作中隐含，该原则指出解析函数在本质上是其奇点所表征的。也就是说，全局解析函数“有效地”由其零点确定，而亚纯函数由其零点和极点确定。虽然这些断言不能表述为精确的一般定理，但在许多重要实例中此原则适用。
认知工具参考
有关完整工具文档，请参见 .claude/skills/math-mode/SKILL.md。