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解析函数分析Skill analytic-functions

这个技能专用于复分析中解析函数的问题解决，包括Cauchy-Riemann方程验证、幂级数展开、解析延拓等关键技术。适用于数学分析、复杂函数理论研究。关键词：解析函数，复分析，Cauchy-Riemann，幂级数，全纯函数，数学技能。

其他 0 次安装 0 次浏览 更新于 3/14/2026

名称: 解析函数分析 描述: “复分析中解析函数的问题解决策略” 允许工具: [Bash, Read]

解析函数

何时使用

在复分析中处理解析函数问题时使用此技能。

决策树

  1. f 在 z0 处解析吗？

    • 检查 Cauchy-Riemann 方程：du/dx = dv/dy, du/dy = -dv/dx
    • 检查 f 在 z0 周围是否有幂级数展开
    • 检查 f 在 z0 的邻域内是否可微
    • sympy_compute.py diff "u" --var x 和 sympy_compute.py diff "v" --var y

  2. Cauchy-Riemann 验证

    • 写 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
    • 计算偏导数
    • 验证：du/dx = dv/dy AND du/dy = -dv/dx
    • z3_solve.py prove "cauchy_riemann"

  3. 幂级数

    • f(z) = sum_{n=0}^{inf} a_n (z - z0)^n
    • 收敛半径：R = 1/limsup |a_n|^(1/n)
    • sympy_compute.py series "f(z)" --var z --at z0

  4. 解析延拓

    • 通过幂级数将 f 扩展到原始域之外
    • 恒等定理：如果 f = g 在具有极限点的集合上，则 f = g 处处成立

工具命令

Sympy_Diff_U

uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py diff "u(x,y)" --var x

Sympy_Diff_V

uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py diff "v(x,y)" --var y

Sympy_Series

uv run python -m runtime.harness scripts/sympy_compute.py series "exp(z)" --var z --at 0

Z3_Cauchy_Riemann

uv run python -m runtime.harness scripts/z3_solve.py prove "diff(u,x) == diff(v,y)"

关键技术

来自索引教科书：

  • [Complex Analysis (Elias M. Stein, Ram… (Z-Library)] 下一章中证明的一个深刻定理表明逆命题也成立：每个全纯函数都是解析的。因此，我们交替使用术语全纯和解析。复分析初步推论2。
  • [Complex Analysis (Elias M. Stein, Ram… (Z-Library)] Cauchy, 1826 理论中有一个一般原则，已在Riemann的工作中隐含，指出解析函数在本质上由其奇点表征。也就是说，全局解析函数“有效”地由其零点决定，而亚纯函数由其零点和极点决定。虽然这些断言不能公式化为精确的一般定理，但仍有重要实例适用此原则。
  • [Complex analysis an introduction to… (Z-Library)] 练习题 如果 f(z) 在整个平面上解析，在实轴上为实数，在虚轴上为纯虚数，证明 f{z) 是奇函数。复积分 在同一情况下，如果 v 是解析函数 f(z) 在 12+ 中的虚部，则 f(z) 有一个解析延拓满足 f(z) = f(z)。为证明，我们构造函数 V(z)，它等于 v(z) 关于这个由边界值 V 形成的圆盘。
  • [Complex analysis an introduction to… (Z-Library)] E 是紧的，它可以被有限个较小的圆盘覆盖，我们发现 p(/nJ 在 E 上是有界的，与假设相反。练习题 证明在任何区域 0 中，具有正实部的解析函数族是正规的。在什么附加条件下它是局部有界的？
  • [Complex Analysis (Elias M. Stein, Ram… (Z-Library)] 注意上述级数的收敛半径为 1。证明 f 不能解析延拓超过单位圆盘。提示：假设 θ = 2πp/2k，其中 p 和 k 是正整数。

认知工具参考

查看 .claude/skills/math-mode/SKILL.md 获取完整的工具文档。