组合数学计算器Skill combinatorics-calculator

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name: 组合数学计算器 description: 使用模运算计算组合数值 allowed-tools:

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组合数学计算器技能

目的

为竞技编程应用提供支持模运算的组合数值计算。

能力

• 阶乘和逆阶乘预计算
• 支持模运算的nCr、nPr计算
• 卡特兰数、斯特林数、贝尔数
• 卢卡斯定理实现
• 容斥原理应用
• 生成函数

目标流程

• 组合计数
• 数论算法
• 动态规划模式匹配

组合函数

基本计数

• 阶乘：n!
• 排列：P(n,r) = n!/(n-r)!
• 组合：C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

特殊数列

• 卡特兰数
• 斯特林数（第一类和第二类）
• 贝尔数
• 错位排列数

高级技术

• 卢卡斯定理（适用于大n、小p）
• 容斥原理
• Burnside引理
• 生成函数

输入模式

{
  "type": "object",
  "properties": {
    "operation": {
      "type": "string",
      "enum": ["nCr", "nPr", "factorial", "catalan", "stirling", "lucas", "precompute"]
    },
    "n": { "type": "integer" },
    "r": { "type": "integer" },
    "mod": { "type": "integer" },
    "precomputeLimit": { "type": "integer" }
  },
  "required": ["operation"]
}

输出模式

{
  "type": "object",
  "properties": {
    "success": { "type": "boolean" },
    "result": { "type": "integer" },
    "code": { "type": "string" },
    "formula": { "type": "string" }
  },
  "required": ["success"]
}